EE261 Lecture 12

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这次回顾第十二讲，这一讲对傅里叶变换加以推广。

上一讲定义了快速递减函数集$\mathcal{S}$，现在考虑作用在其上广义函数（也称为缓增分布（tempered distributions））$\mathcal{T}$。有两种视角看待增缓分布，分别如下

1. 将增缓分布定义为$\mathcal{S}$中函数的极限
2. 根据对$\mathcal{S}$中函数操作定义增缓分布

将分布视为极限

考虑高斯函数

$$g(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}{e}^{-x^2/2t},t>0$$

将$\delta$函数视为上式的极限

$$\delta (x)=\underset{t\to 0}{lim}g(x,t)$$

现在考虑分布对应函数的操作

$$⟨g(x,t),\phi ⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x,t)\phi (x)dx$$

利用泰勒展开不难得到

$$\underset{t\to 0}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x,t)\phi (x)dx=\phi (0)$$

从而

$$⟨\delta ,\phi ⟩=\underset{t\to 0}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x,t)\phi (x)dx=\phi (0)$$

注意到$\delta$函数的性质如下：

• $\delta (x)=0\text{ for }x\ne 0$
• $\delta (0)=\mathrm{\infty }$
• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)dx=1$

而这与$g(x,t)$的极限情形相对应：

• $\underset{t\to 0}{lim}g(x,t)=0\text{ if }x\ne 0$
• $\underset{t\to 0}{lim}g(0,t)=\mathrm{\infty }$
• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x,t)dx=1$

将分布视为线性泛函

另一种视角是直接考虑分布的作用，例如$\delta$的作用为

$$⟨\delta ,\phi ⟩=\phi (0)$$

完整的定义如下：

增缓分布：增缓分布$T$为定义在$\mathcal{S}$（测试函数）上的复值连续线性泛函。我们将$T$构成的集合表示为$\mathcal{T}$。

利用定义我们可得：

1. 如果$\phi$属于$\mathcal{S}$，那么$T(\phi )$是复数。我们常用$⟨T,\phi ⟩$表示$T$作用在$\phi$上

2. 增缓分布为作用在测试函数上的线性算子：

   $$T({\alpha }_1{\phi }_1+{\alpha }_2{\phi }_2)={\alpha }_{1}T\left({\phi }_1\right)+{\alpha }_{2}T\left({\phi }_2\right)$$

   另一种记号为

   $$⟨T,{\alpha }_1{\phi }_1+{\alpha }_2{\phi }_2⟩={\alpha }_1⟨T,{\phi }_1⟩+{\alpha }_2⟨T,{\phi }_2⟩$$

3. 增缓分布连续：如果${\phi }_n$是$\mathcal{S}$中的序列，并且${\phi }_n\to \phi ,\phi \in \mathcal{S}$，那么

   $$T\left({\phi }_n\right)\to T(\phi ),\text{ also written }⟨T,{\phi }_n⟩\to ⟨T,\phi ⟩$$

注意到，$T_1,T_2$相等，当且仅当它们作用在所有测试函数的结果相等：

$$T_1=T_2\text{ if }{T}_1(\phi )=T_2(\phi )(⟨T_1,\phi ⟩=⟨T_2,\phi ⟩)\text{ for all }\phi \text{ in }\mathcal{S}$$

函数诱导的分布

假设函数$f(x)$使得

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\phi (x)dx$$

对所有$\phi (x)\in \mathcal{S}$都存在，那么$f$由如下公式决定了分布$T_f$

$$⟨T_f,\phi ⟩=T_f(\phi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\phi (x)dx$$

现在检验该分布是否满足定义。

性质2：

$$\begin{array}{rl}⟨T_f,{\alpha }_1{\phi }_1+{\alpha }_2{\phi }_2⟩& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)({\alpha }_1{\phi }_1(x)+{\alpha }_2{\phi }_2(x))dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x){\alpha }_1{\phi }_1(x)dx+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x){\alpha }_2{\phi }_2(x)dx\\ & ={\alpha }_1⟨T_f,{\phi }_1⟩+{\alpha }_2⟨T_f,{\phi }_2⟩\end{array}$$

性质3：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}⟨T_f,{\phi }_n⟩=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x){\phi }_n(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\phi (x)dx=⟨T_f,\phi ⟩$$

唯一性：

如果$T_{f_1}=T_{f_2}$，那么是否有$f_1=f_2$？答案是肯定的，原因如下

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_1(x)\phi (x)dx& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_2(x)\phi (x)dx\\ {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(f_1(x)-f_2(x))\phi (x)dx& =0\end{array}$$

由一一对应性，我们也用如下记号表示分布

$$⟨f,\phi ⟩={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)\phi (x)dx$$

例子

现在将$\delta$看成增缓分布：

$$⟨\delta ,\phi ⟩=\phi (0)$$

线性性：

$$\begin{array}{rl}⟨\delta ,{\phi }_1+{\phi }_2⟩& ={\phi }_1(0)+{\phi }_2(0)=⟨\delta ,{\phi }_1⟩+⟨\delta ,{\phi }_2⟩\\ ⟨\delta ,\alpha \phi ⟩& =\alpha \phi (0)=\alpha ⟨\delta ,\phi ⟩\end{array}$$

连续性：如果${\phi }_n(x)\to \phi (x)$，那么

$$⟨\delta ,{\phi }_n⟩={\phi }_n(0)\to \phi (0)=⟨\delta ,\phi ⟩$$

分布的极限

假设$T_n$是增缓分布的序列，$⟨T_n,\phi ⟩$对每个$\phi \in \mathcal{S}$都成立。那么$T_n$收敛到增缓分布$T$，并且

$$⟨T,\phi ⟩=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}⟨T_n,\phi ⟩$$

来看一个具体的例子，考虑方波

$$R_{ϵ}(x)=\frac{1}{ϵ}{\mathrm{\Pi }}_{ϵ}(x)=\frac{1}{ϵ}\mathrm{\Pi }\left(\frac{x}{ϵ}\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{ϵ}& |x|<\frac{ϵ}{2}\\ 0& |x|\ge \frac{ϵ}{2}\end{array}$$

那么

$$\begin{array}{rl}⟨R_{ϵ},\phi ⟩& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{R}_{ϵ}(x)\phi (x)dx\\ & =\frac{1}{ϵ}{\int }_{-ϵ/2}^{ϵ/2}\phi (x)dx\\ & =\frac{1}{ϵ}{\int }_{-ϵ/2}^{ϵ/2}(\phi (0)+{\phi }^{\prime \prime }(0)x+O\left(x^2\right))dx\\ & =\phi (0)+\frac{1}{ϵ}{\int }_{-ϵ/2}^{ϵ/2}O\left(x^2\right)dx\\ & =\phi (0)+O\left({ϵ}^2\right)\end{array}$$

所以

$$\underset{ϵ\to 0}{lim}⟨R_{ϵ},\phi ⟩=\phi (0)=⟨\delta ,\phi ⟩$$

所以方波的极限为$\delta$函数。

更一般的，如果函数$f(x)$满足

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx& =1\\ f_p(x)& =pf(px),p>0\end{array}$$

那么

$$f_p\to \delta$$